¡Los secretos del cuadrado de 10x10!
Imagina una clase de matemáticas típica, donde reina el ambiente familiar de números y fórmulas. Uno de los alumnos, llamémoslo Vasya, decidió ser creativo.
Cogió una tiza y dibujó un enorme cuadrado de 10x10 en la pizarra. Luego, con gran diligencia, Vasya comenzó a rellenar cada casilla. ¡Pero no con cualquier cosa! Usó solo tres números: 1, 2 o 3. Los colocó al azar, según le dictaba su intuición.
Los alumnos de la clase calcularon todas las sumas a lo largo de las líneas horizontales, verticales y las dos diagonales.
El profesor sonrió con picardía y dijo algo que hizo que toda la clase se detuviera:
«Vasya, no importa lo que escribas en estas casillas, no importa cómo ordenes los unos, doses y treses, puedo demostrar que entre estas sumas, ¡siempre habrá al menos dos sumas absolutamente idénticas!».
La clase guardó silencio. ¿Cómo era posible? ¿Podría ser cierto?
(La solución está en los comentarios)
Solución:
ResponderEliminarCada fila, cada columna y las dos diagonales tienen 10 casillas. Como en cada casilla sólo puede aparecer 1, 2 o 3, la suma de cualquiera de esas 10 casillas está entre:
mínimo 10 * 1 = 10
máximo 10 * 3 = 30
Es decir, **hay 21 posibles valores** distintos para una suma (los enteros del 10 al 30, inclusive). Pero el número de sumas que calcularon es:
10 filas + 10 columnas + 2 diagonales = 22 sumas
Tenemos 22 sumas que deben caer en sólo 21 valores posibles. Por el **principio del casillero** (pigeonhole principle), al menos dos de esas 22 sumas deben coincidir.
*** Por lo tanto, al menos 2 de las sumas serán iguales. ***
Explicación del principio del casillero:
Imagina que tienes **más palomas que casilleros** donde ponerlas. No importa cuánto intentes repartirlas, **al menos un casillero tendrá dos palomas adentro**.
Ese es el principio del casillero, contado sin maquillaje.
Ahora, si quieres una explicación un poco más formal (pero con palabras simples):
**Principio del casillero:**
Si repartes **N objetos** en **M casilleros**, y **N es mayor que M**, entonces por fuerza **al menos un casillero recibirá dos o más objetos**.
Es una idea tan básica que parece obvia, pero es un arma secreta en muchas demostraciones: desde acertijos suaves hasta teoremas profundos.